Vers 500 ans avant J.-C., les Grecs relancent la recherche sur PI. Avec une question: à partir d’un disque, comment construire un carré de même surface, en utilisant uniquement une règle et un compas? Cette réalisation géométrique, qui tourne à l’obsession chez les Grecs, porte un nom: la quadrature du cercle. Réaliser la quadrature du cercle revient à définir une méthode exacte et finie du calcul PI. Encore une fois, mission impossible . Le nombre Pi est non seulement irrationnel mais aussi “transcendant”, c’est à dire qu’il ne pourra jamais se calculer par une suite finie d’opérations élémentaires. Comment faire pour mesurer tout de même le périmètre d’un cercle? Archimède, au IIIe siècle avant J.-C., trouve le premier la solution. Il abandonne la recherche d’une formule numérique exacte pour p mais décide plutôt d’approcher sa valeur. Il dessine deux polygones réguliers, possédant, chacun un même nombre de côtés, l’un à l’intérieur et l’autre à l’extérieur du cercle. En augmentant petit à petit le nombre de côtés des deux polygones, il réduit l’écart entre leurs deux périmètres, et parvient ainsi à « encadrer » PI entre 3,1408 et 3,1429. Cette méthode d’Archimède est employée jusqu’au XVIIe siècle. Mais à partir de cet époque, les mathématiciens apprennent à manier l’infini et l’infiniment petit. L’immensité peut enfin s’écrire en équation! Désormais, PI peut prétendre à des formules exactes. Exemple: la très belle série 1+ 1/2² + 1/3²+ 1/4²+ 1/5² ... (et ainsi jusqu’à l’infini) = p²/6. Ces formules exactes permettent de calculer toutes les décimales de p, les unes après les autres. Mais les opérations sont longues, et personne ne peut “au bout ” puisqu’elles sont infinies. Pourtant, grâce à l’apparition des ordinateurs, les calculs vont de plus en plus loin. Notre connaissance de p atteint un million de décimales en 1973!