GEOMETRIE
En géométrie ,l’oeuvre d’ Archimède développa celle d’ Euxode de Cnide telle que nous la connaissons par le livre XII des éléments d’ Euclide : il s’agissait de comparer les mesures des figures planes et solides ,en particulier des figures curvilignes. Ainsi Archimède démontra que le volume du cylindre circonscrit à une sphère est égal à une fois et demie le volume de cette dernière, et que surface latérale d’un cylindre est égale à celle de la sphère.
Donc si l’on sait calculer la surface d’un cercle , on connaît celle de la sphère, du cylindre , son volume et celui de la sphère , etc. ...Ces résultats ont un intérêt théorique évident et ont été interprétés comme des résultats particuliers de ce qui fut ultérieurement développé sous le nom de calcul infini décimal .Les anciens,pour leur part parlaient de quadrature d’une aire et de cubature d’un volume : pour une surface donnée, déterminer la quadrature consistait à découvrir le carré dont l’aire soit égale à celle de la surface ; de même , la cubature d’un solide correspondaient au cube de volume égal à celui du solide . Archimède réussit ainsi à déterminer la quadrature d’un segment de parabole et la cubature de certains conoïdes et sphéroïdes ( solides de révolution engendrés par une portion de conique ) .
Mais le résultat le plus célèbre du savant grec est relatif à la quadrature du cercle dont on ne démontra l’impossibilité qu’à la fin du XIX ° siècle. Archimède ramena en effet cette quadrature à un autre problème : la rectification e sa circonférence c’est à dire trouver une ligne droite qui soit égale au périmètre du cercle .
Il tenta de résoudre ce problème en utilisant des polygones réguliers circonscrits et inscrits dans le cercle et parvint à calculer de cette manière des valeurs approchées du rapport de la circonférence / diamètre , autrement dit le nombre ; .Archimède démontra ainsi que ce nombre est compris entre 3 + 10 / 71 et 3 + 10 / 70
L’impact des découverts d’ Archimède en géométrie et en physique mathématique fut considérable , au moins jusqu’au XVII°siècle non seulement par leur contenu mais aussi par les réflexions sur la notion de démonstration et la méthode de découverte qu’elles supposent.
LA MECANIQUE AU SECOURS DE LA GEOMETRIE
Les lois du levier étaient connues des disciples d’Aristote, et la balance était depuis des temps immémoriaux un outil de précision. Mais Archimède déduit ces lois ,très rigoureusement d’un nombre réduit de postulats.
Si Archimède est inattaquable dans l’équilibre des plans ou des centres de gravité des plans , c’est surtout grâce à son utilisation du barycentre ou centre de gravité. Pour lui , tout corps pesant à un barycentre bien défini , en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré.
Un grande partie de sa carrière sera occupée à la détermination du centre de gravité des corps homogènes géométriquement définissables . Nous arrivons d’ailleurs ici à un tournant décisif . Nous ne connaissons encore que le mécanicien , l’ingénieur . Mais voilà qu’étudiant « la section du cône droit » C’est ainsi qu’il appelait la parabole il voit dans l’équation a y = x ( b - x ) ( nous utilisons bien entendu l’écriture actuelle) une pesée :
le segment y placé à la distance a équilibre le segment b-x à la distance x . La recherche de l’aire de la parabole équivaut donc à celle du barycentre du triangle , qu’il a déjà déterminée.
Ce lien entre la statique et la géométrie va le conduire à une foule de découvertes. Tout d’abord , il pèse par la pensée tout segment de parabole « qui vaut les 4/3 du triangle de même base et de même hauteur ».